Question

已知函數y=

1

x

的定義域為集合A，集合B={x|ax-1＜0，a∈N^*}，集合C={x|log

1

2

x＞1}，且C?（A∩B）．
（1）求A∩C；
（2）求a．

Answer 1

分析：（1）由函數y=

1

x

中的二次根式定義得到x大于0寫出集合A，由集合C中的

log

x 1 2

＞1=

log

1 2 1 2

，根據

1

2

＜1得到對數函數為減函數，所以得到x小于

1

2

，根據對數函數的定義域得到x大于0，寫出集合C，求出A與C的交集即可；
（2）求出集合B中不等式的解集得到x小于

1

a

，所以求出A與B的交集，根據集合C為A與B交集的真子集，列出關于a的不等式，求出解集中的正整數解即可．

解答：解：（1）根據二次根式的定義及分母不為0得到x＞0，所以集合A=（0，+∞）；根據

1

2

＜1得到對數函數為減函數，再根據對數函數的定義得到0＜x＜

1

2

，所以集合C=(0，

1

2

)，
所以A∩C=(0，

1

2

)
（2）在集合B中，由ax-1＜0，解得x＜

1

a

，所以B=(-∞，

1

a

)?a∈N*
∴A∩B=(0，

1

a

)
∵C?A∩B
∴

1

a

＞

1

2

，又a＞0
∴0＜a＜2，a∈N^*
∴a=1

點評：本題屬于以對數函數的定義域、值域及二次根式的定義為平臺，考查了交集及其運算、集合間的包含關系的應用，是一道中檔題．