Question

已知函數g（x）是f（x）=x²（x＞0）的反函數，點M（x，y）、N（y，x）分別是f（x）、g（x）圖象上的點，l₁、l₂分別是函數f（x）、g（x）的圖象在M，N兩點處的切線，且l₁∥l₂．
（Ⅰ）求M、N兩點的坐標；
（Ⅱ）求經過原點O及M、N的圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導數求出在切點處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．最后利用平行直線的斜率相等即可解決問題．
（II）欲求經過原點O及M、N的圓的方程，利用圓的一般方程結合待定系數法求解即可．
解答：解：（Ⅰ）因為f（x）=x²（x＞0），所以．
從而f'（x）=2x，．
所以切線l₁，l₂的斜率分別為k₁=f'（x）=2x，．
又y=x²（x＞0），所以．
因為兩切線l₁，l₂平行，所以k₁=k₂．
因為x＞0，
所以．
所以M，N兩點的坐標分別為．
（Ⅱ）設過O、M、N三點的圓的方程為：x²+y²+Dx+Ey+F=0．
因為圓過原點，所以F=0．因為M、N關于直線y=x對稱，所以圓心在直線y=x上．
所以D=E．
又因為在圓上，
所以．
所以過O、M、N三點的圓的方程為：．
點評：本小題主要考查利用導數研究曲線上某點切線方程、圓的一般方程、圓的一般方程的應用等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題．