Question

已知函數y₁=x+

4

x

（x≠0），y₂=cosx+

4

cosx

（0＜x＜

π

2

），y₃=

8x

x2+1

（x＞0），y₄=（1+cotx）（

1

2

+tanx）（0＜x＜

π

2

），其中以4為最小值的函數個數是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：通過舉特例，可得y₁不滿足條件． 利用基本不等式可得y₂=4的條件是cosx=2，這不可能，故y₂不滿足條件．
利用基本不等式可得y₃的最大值是4，故y₃不滿足條件．利用基本不等式可得y₄的最小值為

9

2

，故y₄不滿足條件．

解答：解：當x＜0時，y1=x+

4

x

＜0，故y₁不滿足條件．
當0＜x＜

π

2

時，cosx∈（0，1），y2=cosx+

4

cosx

≥4，當且僅當cosx=

4

cosx

 即cosx=2時，等號成立．
由于cosx=2 不可能，故y₂的最小值大于4，故y₂不滿足條件．
當x＞0時，y3=

8x

x2+1

=

8

x+ 1 x

≤4，當且僅當 x=1時，等號成立．故4是y₃的最大值，故y₃不滿足條件．
 當0＜x＜

π

2

時，tanx＞0，cotx＞0，y4=( 1+cotx ) (

1

2

 +2tanx )=

5

2

+2tanx+

1

2

cotx≥

5

2

+2=

9

2

，
 故y₄的最小值為

9

2

．故y₄不滿足條件．
 故選：A．

點評：本題主要考查三角函數的最值，基本不等中等號式成立的條件，屬于中檔題．