Question

（本小題滿分12分）已知直角的三邊長,滿足 
(1)已知均為正整數,且成等差數列,將滿足條件的三角形的面積從小到大排成一列,且,求滿足不等式的所有的值;
(2)已知成等比數列,若數列滿足,證明數列中的任意連續三項為邊長均可以構成直角三角形,且是正整數.

Answer 1

(1) 2、3、4;(2)參考解析

試題分析：（1）已知直角三角形中三邊是正整數，并且成等差數列.由此可得首項與公差的關系.從而寫出三角形的面積的表達式.由于面積是從小到大排的，所以把公差.改成沒關系.由于數列的前項的和的特點是每項是一項正一項負.所以相鄰的兩項用平方差公式化簡.即可得一個等差數列的求和的式子. 由得,由于指數函數是爆炸性的變化，所以要符合該不等式的不是很多，再由.利用二項式定理展開即可得時，.所以只有2,3,4三種情況.
（2）；因為成等比數列.解直角三角形三邊的關系可求得.所以可以寫出的表達式.在遞推一個式子.兩式相加，再利用==.從而可得.從而即可得解答結論.再說明前三項符合即可.
試題解析：(1)設的公差為,則
設三角形的三邊長為,面積,      2分


由得,
當時,,
經檢驗當時,,當時,
綜上所述,滿足不等式的所有的值為2、3、4        6分
(2)證明因為成等比數列,.
由于為直角三角形的三邊長,知,,      8分
又,得,
于是

,則有.
故數列中的任意連續三項為邊長均可以構成直角三角形       10分
因為 ,
,由數學歸納法得：
由,同理可得,
故對于任意的都有是正整數         12分