Question

已知函數f(x)=cos(2x-

π

3

)+sin2x-cos2x．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期及圖象的對稱軸方程；
（Ⅱ）設函數g（x）=[f（x）]²+f（x），求g（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據兩角和與差的正余弦公式進行化簡，根據T=

2π

w

可求得最小正周期，再由正弦函數的對稱性可求得對稱軸方程．
（Ⅱ）將f（x）的解析式代入到函數g（x）中，將sin(2x-

π

6

)作為一個整體將函數g（x）化簡為二次函數的形式，結合正弦函數的值域和二次函數的最值的求法可求得函數g（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+sin2x-cos2x
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x
=sin(2x-

π

6

)
∴周期T=

2π

2

=π，
由2x-

π

6

=kπ+

π

2

(k∈Z)，得x=

kπ

2

+

π

3

(k∈Z)
∴函數圖象的對稱軸方程為x=

kπ

2

+

π

3

(k∈Z)．
（Ⅱ）g（x）=[f（x）]²+f（x）
=sin2(2x-

π

6

)+sin(2x-

π

6

)
=[sin(2x-

π

6

)+

1

2

]2-

1

4

．
當sin(2x-

π

6

)=-

1

2

時，g（x）取得最小值-

1

4

當sin(2x-

π

6

)=1時，g（x）取得最大值2，
所以g（x）的值域為[-

1

4

， 2]．

點評：本題主要考查兩角和與差的正余弦公式的應用和正弦函數的基本性質--最小正周期、對稱性和值域．三角函數和二次函數的綜合題是經常遇到的題型，這里要尤其注意正弦函數的值域．