Question

在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝BC＝CA＝AA₁＝2，側棱AA₁⊥面ABC，D、E分別是棱A₁B₁、AA₁的中點，點F在棱AB上，且．

（Ⅰ）求證：EF∥平面BDC₁；
（Ⅱ）求二面角E－BC₁－D的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）取的中點M，為的中點，又為的中點，∴在三棱柱中，分別為的中點，，且則四邊形A₁DBM為平行四邊形，，又平面，平面平面（Ⅱ）

解析試題分析：取的中點M，，

為的中點，又為的中點，∴，
在三棱柱中，分別為的中點，
，且，
則四邊形A₁DBM為平行四邊形，，
，又平面，平面，
平面．  6分
（Ⅱ）連接DM，分別以、、所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖空間直角坐標系，則，，，，
∴，，．
設面BC₁D的一個法向量為，面BC₁E的一個法向量為，
則由得取，
又由得取，
則，
故二面角E－BC₁－D的余弦值為．  12分
考點：線面平行的判定及二面角求解
點評：利用空間向量法證明線面平行只需證明直線的方向向量與平面的法向量垂直且直線不在面內即可，求二面角時首先找到兩面的法向量，求出法向量的夾角，觀察圖形得到二面角（等于夾角或與夾角互補）