Question

(本題滿分18分) 本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.
設，對于項數為的有窮數列，令為中最大值，稱數列為的“創新數列”．例如數列3，5，4，7的創新數列為3，5，5，7．
考查自然數的所有排列，將每種排列都視為一個有窮數列．
（1）若，寫出創新數列為3，4，4，4的所有數列；
（2）是否存在數列的創新數列為等比數列？若存在，求出符合條件的創新數列；若不存在，請說明理由．
（3）是否存在數列，使它的創新數列為等差數列？若存在，求出滿足所有條件的數列的個數；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意，創新數列為3，4，4，4的所有數列有兩個，即3，4，1，2和
3，4，2，1．              ……………（每寫出一個給2分，多寫不得分）4分
（2）存在數列的創新數列為等比數列．……………………………………5分
設數列的創新數列為，
因為為前個自然數中最大的一個，所以．   ……………………6分
若為等比數列，設公比為，因為，所以．…7分
當時，為常數列滿足條件，即為數列
（或寫通項公式）；    ……………………………………9分
當時，為增數列，符合條件的數列只能是，又不滿足等比數列．綜上符合條件的創新數列只有一個．              ……………………10分
（3）存在數列，使它的創新數列為等差數列，     ……………………11分
設數列的創新數列為，因為為前個自然數中最大的一個，所以．
若為等差數列，設公差為，
因為，所以．且  ……………………12分
當時，為常數列滿足條件，即為數列（或寫通項公式），
此時數列是首項為的任意一個排列，共有個數列；      ……………14分
當時，符合條件的數列只能是，此時數列是，有1個；                                                     ……………………15分
當時， 又
這與矛盾，所以此時不存在。    …………17分
綜上滿足條件的數列的個數為個（或回答個）．  …………18分

略