Question

已知函數f（x）=Asin²（ωx+φ）+1 （A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的最大值為3，其圖象的兩條相鄰對稱軸間的距離為2，與y軸交點的縱坐標為2，則f（x）的單調遞增區間是

[4k-1，4k+1]，k∈z

．

Answer 1

分析：利用二倍角公式化簡函數f（x）的解析式為

A

2

+1-

A•cos(2ωx+2φ)

2

，根據最值求A，根據周期求得ω，根據函數的圖象與y軸交點的縱坐標為2，求得φ，可得f（x）=2-cos（

π

2

x+

π

2

）．本題即求y=cos（

π

2

x+

π

2

）的減區間．令 2kπ≤

π

2

x+

π

2

≤2kπ+π，k∈z，求得x的范圍，即可求得函數f（x）的增區間．

解答：解：∵函數f（x）=Asin²（ωx+φ）+1=A•

1-cos(2ωx+2φ)

2

+1=

A

2

+1-

A•cos(2ωx+2φ)

2

（A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的最大值為3，故

A

2

+1+

A

2

=3，∴A=2．
再由其圖象的兩條相鄰對稱軸間的距離為2，可得它的周期T=4=

2π

2ω

，∴ω=

π

4

．
再由函數與y軸交點的縱坐標為2，可得2-cos（2φ）=2，cos2φ=0，∴2φ=

π

2

，φ=

π

4

，
故f（x）=2-cos（

π

2

x+

π

2

）．
則f（x）的單調遞增區間，即為y=cos（

π

2

x+

π

2

）的減區間．
令 2kπ≤

π

2

x+

π

2

≤2kπ+π，k∈z，求得 4k-1≤x≤4k+1，故f（x）的單調遞增區間是[4k-1，4k+1]，k∈z，
故答案為[4k-1，4k+1]，k∈z．

點評：本題主要考查二倍角公式、余弦函數的圖象和性質的應用，由函數y=Acos（ωx+φ）的部分圖象求解析式，屬于中檔題