Question

（2011•東城區二模）對任意x∈R，函數f（x）滿足f(x+1)=

f(x)-[f(x)]2

+

1

2

，設a_n=[f（n）]²-f（n），數列{a_n}的前15項的和為-

31

16

，則f（15）=

3

4

．

Answer 1

分析：通過f(x+1)=

f(x)-[f(x)]2

+

1

2

推出數列第n項與第n+1項的關系，找出規律，求出a₁₅，然后解出f（15）=的值．

解答：解：∵f(x+1)=

f(x)-[f(x)]2

+

1

2

，
∴f(x+1)-

1

2

=

f(x)-[f(x)]2

，
兩邊平方得[f(x+1)-

1

2

]2=f(x)-[f(x)]2
⇒[f(x+1)]2-f(x+1)+

1

4

=f(x)-[f(x)]2，
即an+1+an=-

1

4

，即數列{a_n}任意相鄰兩項相加為常數-

1

4

，
則S15=7×(-

1

4

)+a15=-

31

16

⇒a15=-

3

16

，
即[f(15)]2-f(15)=-

3

16

⇒f(15)=

3

4

或f(15)=

1

4

，
又由f(x+1)=

f(x)-[f(x)]2

+

1

2

≥

1

2

，
可得f(15)=

3

4

．
故答案為：

3

4

．

點評：本題是中檔題，考查數列與函數的關系，數列的遞推關系式，推出數列中的規律是解題的關鍵，注意驗證數列的項是否在數列中，考查計算能力．