Question

己知f（x）是定義在（0，+∞）上的單調函數，且對任意的x∈（0，+∞），點（f（x）-lnx，1）總在函數y=f（x）的圖象上，則方程f（x）+2x-7=0的解所在的區間為（　　）

A．（0，1）

B．（1，2）

C．（2，3）

D．（3，4）

Answer 1

分析：由題意可得，1=f[f（x）-lnx]，故f（x）-lnx為定值，不妨設t=f（x）-lnx，則f（x）=lnx+t．再由f（t）=lnt+t=1，求得t的值，可得f（x）的解析式．令m（x）=f（x）+2x-7，根據函數零點的判定定理求得m（x）的零點所在的區，從而得出結論．

解答：解：由于點（f（x）-lnx，1）總在函數y=f（x）的圖象上，
故有 1=f[f（x）-lnx]，故f（x）-lnx為定值，
不妨設t=f（x）-lnx，
則 f（x）=lnx+t．
再由f（t）=lnt+t=1，
∴t=1，
f（x）=lnx+1．
可得方程f（x）+2x-7=0，
即 lnx+1+2x-7=0，
即 lnx+2x-6=0，
令m（x）=lnx+2x-6，
根據m（2）=ln2-2＜0，m（3）=ln3＞0，
且m（x）在（0，+∞）上是增函數，可得m（x）的零點所在的區間為（2，3），
即方程f（x）+2x-7=0的解所在的區間為（2，3），
故選C．

點評：本題主要考查函數零點與方程根的關系，函數零點的判定定理，屬于中檔題．