Question

已知

m

=（cosωx+sinωx，

3

cosωx），

n

=（cosωx-sinωx，2sinωx），其中ω＞0．設函數f（x）=

m

•

n

，且函數f（x）的周期為π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且a，b，c成等差數列，當f（B）=1時，判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（I）根據向量積得出f（x）=cos2ωx+

3

sin2ωx進而化簡成f（x）=2sin（2ωx+

π

6

），然后根據周期公式得出答案．
（II） 首先根據條件求出sin(2B=

π

6

)=

1

2

，進而由角的范圍求出B的度數，再由等差數列的性質得出2b=a+c，從而利用余弦定理求出角B的度數進而判斷三角形的形狀．

解答：解：
（I）∵

m

=(cosωx+sinωx，

3

cosωx)，

n

=(cosωx-sinωx，2sinωx)  (ω＞0)

∴f(x)= m • n = m =cos2ωx-sin2ωx+2 3 cosωxsinωx=cos2ωx+ 3 sin2ωx， ∴f(x)=2sin(2ωx+ π 6 )

∵函數f（x）的周期為π∴T=

2π

2ω

=π∴ω=1
（Ⅱ）在△ABC中f(B)=1∴2sin(2B+

π

6

)=1∴sin(2B=

π

6

)=

1

2

又∵0＜B＜π∴

π

6

＜2B+

π

6

＜

7

6

π
∵2B+

π

6

=

5π

5

∴B=

π

3

∵a，b，c成等差∴2b=a+c
∴cosB=cos

π

3

=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

∴ac=a2+c2-

(a+c)2

4

化簡得：a=c又∵B=

π

3

∴△ABC為正三角形

點評：本題考查了三角函數周期性的求法以及利用余弦定理判斷三角形的形狀，解題過程要特別注意角的范圍，屬于中檔題．