Question

已知P為雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)左支上一點，F₁，F₂為雙曲線的左右焦點，且cos∠PF₂F₁=sin∠PF₁F₂=

5

5

，則此雙曲線離心率是

 

．

Answer 1

分析：寫判斷PF₂⊥PF₁，由直角三角形中的邊角關系及同角三角函數的基本關系求出PF₂ 和PF₁ 的值，再利用雙曲線的定義求得

c

a

的值．

解答：解：△PF₂F₁中，∵cos∠PF₂F₁=sin∠PF₁F₂=

5

5

，∴∠PF₂F₁ 與∠PF₁F₂互為余角，
PF₂⊥PF₁，∴

PF2

2c

=sin∠PF₁F₂=

5

5

，PF₂=

2 5

5

c，∴cos∠PF₁F₂ =

2 5

5

=

PF1

2a

，
∴PF₁=

4 5

5

c，再由雙曲線的定義得  PF₁-PF₂=2a，即 

2 5

5

c=2a，

c

a

=

5

，
故答案為

5

．

點評：本題考查雙曲線的定義和雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，其中，判斷PF₂⊥PF₁是解題的關鍵．