Question

已知數列中，，設．
（Ⅰ）試寫出數列的前三項；
（Ⅱ）求證：數列是等比數列，并求數列的通項公式；
（Ⅲ）設的前項和為，
求證：．

Answer 1

（Ⅰ），，；（Ⅱ）證明見試題解析，；（Ⅲ）證明見試題解析.

解析試題分析：（Ⅰ）由遞推公式求出，再利用可直接求出；（Ⅱ）要證數列是等比數列，可由數列的遞推關系建立起與的關系.
，從而證得數列是等比數列. 然后選求出，由可求出；（Ⅲ）本題最好是能求出，但由數列的通項公式可知不可求，結合結論是不等式形式可以用放縮法使得和可求，如
，又
，即有（等號只在時取得），然后求和，即可證得結論.
試題解析：（Ⅰ）由，得，.
由，可得，，.             3分
（Ⅱ）證明：因，故
.           5分
顯然，因此數列是以為首項，以2為公比的等比數列，即
.                                 7分
解得.                                           8分
（Ⅲ）因為 
,
所以   11分
又（當且僅當時取等號），
故            14分[來源
考點：（Ⅰ）數列的項；（Ⅱ）等比數列的定義；（Ⅲ）放縮法.