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若橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點（-3，2）離心率為
3
3
，⊙O的圓心為原點，直徑為橢圓的短軸，⊙M的方程為（x-8）2+（y-6）2=4，過⊙M上任一點P作⊙的切線PA、PB切點為A、B．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線PA與⊙M的另一交點為Q當弦PQ最大時，求直線PA的直線方程；
（3）求
OA
•
OB
的最大值與最小值．
（1）由題意得：
9
a2
+
4
b2
=1
c
a
=
3
3
a2=b2+c2
解得a=
15
，b=
10

所以橢圓的方程為
x2
15
+
y2
10
=1
（2）由題可知當直線PA過圓M的圓心（8，6），弦PQ最大．
因為直線PA的斜率一定存在，所以可設直線PA的方程為：y-6=k（x-8）
又因為PA與圓O相切，所圓心（0，0）到直線PA的距離為
10

即
|8k-6|
1+k2
=
10
，
可得k=
1
3
或k=
13
9

所以直線PA的方程為：x-3y+10=0或13x-9y-50=0
（3）設∠AOP=α，
則∠AOP=∠BOP，∠AOB=2α，
則cos∠AOB=2cos2α-1=
20
|0P|2
-1，
∴
OA
•
OB
=
OA
•
OB
cos∠AOB=
200
|0P|2
-10
∴（
OA
•
OB
）max=-
55
8
，（
OA
•
OB
）min=-
155
18
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

正四面體P-ABC中，點M在面PBC內，且點M到點P的距離等于點M到底面ABC的距離則動點M在面PBC的軌跡是（　　）
A．拋物線的一部分B．橢圓的一部分
C．雙曲線的一部分D．圓的一部分

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

橢圓ax2+by2=1與直線x+y-1=0相交于A，B兩點，C是AB的中點，若|AB|=2
2
，OC的斜率為
2
2
，求橢圓的方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

在焦點在x軸的橢圓過點P（3，0），且長軸長是短軸長的3倍，則其標準方程為______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

若方程
x2
k-2
+
y2
3-k
=1表示橢圓，則實數k的取值范圍是（　　）
A．k＜2B．k＞3
C．2＜k＜3且k≠
5
2
D．k＜2或k＞3

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

分別求適合下列條件的曲線的標準方程：
（1）焦點為F1（0，-1）、F2（0，1）且過點M（
3
2
，1）橢圓；
（2）求經過點A（0，4），B（4，6）且圓心在直線x-2y-2=0上的圓的方程；
（3）與雙曲線x2-
y2
2
=1有相同的漸近線，且過點（2，2）的雙曲線．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

已知方程ax2+by2=ab和ax+by+c=0，其中，ab≠0，a≠b，c＞0，它們所表示的曲線可能是下列圖象中的（　　）
A．B．C．D．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知P點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點P到兩焦點的距離分別為
4
5
3
和
2
5
3
，過P作長軸的垂線恰好過橢圓的右焦點，求橢圓方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知集合A={x|-2≤x≤10，x∈Z}，m，n∈A，方程
x2
m
+
y2
n
=1表示焦點在x軸上的橢圓，則這樣的橢圓共有______個．

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