Question

有以下命題：設a_n1，a_n2，…a_nm是公差為d的等差數列{a_n}中任意m項，若

n1+n2+…+nm

m

=p+

r

m

（p∈N*，r∈N且r＜m），則

an1+an2+…+anm

m

=ap+

r

m

d；特別地，當r=0時，稱a_p為a_n1，a_n2，…a_nm的等差平均項．
（1）已知等差數列{a_n}的通項公式為a_n=2n，根據上述命題，則a₁，a₃，a₁₀，a₁₈的等差平均項為：

 

；
（2）將上述真命題推廣到各項為正實數的等比數列中：設a_n1，a_n2，…a_nm是公比為q的等比數列{a_n}中任意m項，若

n1+n2+…+nm

m

=p+

r

m

（p∈N*，r∈N且r＜m），則

 

；特別地，當r=0時，稱a_p為a_n1，a_n2，…a_nm的等比平均項．

Answer 1

分析：（1）利用新定義，結合等差數列{a_n}的通項公式為a_n=2n，可求a₁，a₃，a₁₀，a₁₈的等差平均項；
（2）等差數列研究和問題，類比等比數列則研究積問題，通過計算可以得結論．

解答：解：（1）由題意，a₁，a₃，a₁₀，a₁₈的等差平均項為

a1+a3+a10+a18

4

=

2+6+20+36

4

=16；
（2）由題意，類比得

m	an1an2…anm

=

n	a n 1 qn1+n2+nm-n

=a1q

n1+n2+nm

m

-1=a1qp-1+

r

m

= apq

r

m

故答案為16；

m	an1an2…anm

=apq

r

m

點評：本題考查新定義的理解，同時考查了類比思想的運用，關鍵是理解新定義，同時明確等差數列與等比數列之間類比得方法．