Question

（本小題滿分13分）已知焦點在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線相交于坐標原點，且兩條漸近線與以點為圓心，1為半徑的圓相切，又知雙曲線C的一個焦點與點A關于直線y=x對稱.

（1）求雙曲線C的標準方程；

（2）若Q是雙曲線C上的任一點，F₁、F₂分別是雙曲線C的左、右焦點，從點F₁引∠F₁QF₂的平分線的垂線，垂足為N，試求點N的軌跡方程.

（3）設直線y=mx+1與雙曲線C的左支交于A、B兩點，另一直線L經過點M（－2，0）和線段AB的中點，求直線L在y軸上的截距b的取值范圍

Answer 1

解：（1）設雙曲線C的漸近線方程為y=kx，即kx－y=0

∵該直線與圓 相切，

∴雙曲線C的兩條漸近線方程為  ……………………………………………2分

故設雙曲線C的方程為，又∵雙曲線C的一個焦點為

∴，∴雙曲線C的方程為  ……………………………4分

（2）若Q在雙曲線的右支上，則延長QF₂到T，使|QT|=|QF₁|

若Q在雙曲線的左支上，則在QF₂上取一點T，使|QT|=|QF₁| 

根據雙曲線的定義|TF₂|=2，所以點T在以F₂為圓心，2為半徑的圓上，即點T的軌跡方程是  ① ………………………………………6分

由于點N是線段F₁T的中點，設N（x，y），T（）

則 

代入①并整理得點N的軌跡方程為  …………………8分

（3）由 

令

直線與雙曲線左支交于兩點，等價于方程 上有兩個不等實根.

因此 

又AB中點為

∴直線L的方程為  ……………………………………10分

令x=0，得

∵  ∴ 

∴故b的取值范圍是   …………………………………………13分