Question

已知函數f(x)=(1-

a

x

)ex，若同時滿足條件：
①?x₀∈（0，+∞），x₀為f（x）的一個極大值點；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實數a的取值范圍是（　　）

A．（4，8]

B．[8，+∞）

C．（-∞，0）∪[8，+∞）

D．（-∞，0）∪（4，8]

Answer 1

分析：求導數，由①得到

a 2 ＞0   f(0)＞0   △=a2-4a＞0

；
由②?x∈（8，+∞），f（x）＞0，故只需f（x）在（8，+∞）上的最小值大于0即可，
分別解出不等式即可得到實數a的取值范圍為4＜a≤8．

解答：解：由于f(x)=(1-

a

x

)ex，則f′(x)=(

a

x2

-

a

x

+1)ex=

x2-ax+a

x2

•ex
令f′（x）=0，則x1=

a- a2-4a

2

，x2=

a+ a2-4a

2

故函數f（x）在（-∞，x₁），（x₂，+∞）上遞增，在（x₁，x₂）上遞減
由于?x∈（8，+∞），f（x）＞0，故只需f（x）在（8，+∞）上的最小值大于0即可，
當x₂＞8，即a＞

64

7

時，函數f（x）在（8，+∞）上的最小值為f(x2)=(1-

a

x2

)ex2＞0，此時無解；
當x₂≤8，即a≤

64

7

時，函數f（x）在（8，+∞）上的最小值為f(8)=(1-

a

8

)e8≥0，解得a≤8．
又由?x₀∈（0，+∞），x₀為f（x）的一個極大值點，故

a 2 ＞0   f(0)＞0   △=a2-4a＞0

解得a＞4；
故實數a的取值范圍為4＜a≤8
故答案為 A

點評：本題考查函數在某點取得極值的條件，屬于基礎題．