Question

已知函數，其中a為實數．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若函數f（x）≥0對定義域內的任意x恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）證明：對任意的正整數m，n，不等式恒成立．

Answer 1

解：（1）∵，
∴，
①當a≤0時，若0＜x＜1，則f′（x）＜0，
故函數f（x）的單調減區間是（0，1）；
若x＞1，則f′（x）＞0，故函數f（x）的增區間是（1，+∞）．
②當0＜a＜1時，函數f（x）的單調減區間是（a，1）；
單調增區間是（0，a），（1，+∞）．
③當a=1時，則，
故函數f（x）的單調增區間是（0，+∞）；
⑤當a＞1時，函數f（x）的單調遞減區間是（1，a）；
函數f（x）的單調區間是（0，1），（a，+∞）．
（2）由于f（1）=-，
當a＞0時，f（1）＜0，
此時f（x）≥0對定義域內的任意x不是恒成立的．
當a≤0時，由（1）得f（x）在區間（0，+∞）上的極小值，也是最小值為f（1）=-，
此時，f（1）≥0，解得a≤-，
故實數a的取值范圍是（-∞，-）．
（3）由（2）知，當a=-時，
f（x）=-≥0，當且僅當x=1時，等號成立，
這個不等式等價于lnx≤x²-x．
當x＞1時，變換為，
在上面的不等式中，
令x=m+1，m+2，…，m+n，則有
＞-，
即對任意的正整數m，n，不等式恒成立．
分析：（1）由，得，由此根據a的取值范圍進行分類討論，能求出函數f（x）的單調區間．
（2）由于f（1）=-，當a＞0時，f（1）＜0，此時f（x）≥0對定義域內的任意x不是恒成立的．當a≤0時，由（1）得f（x）在區間（0，+∞）上取得最小值為f（1）=-，由此能求出實數a的取值范圍．
（3）由（2）知，當a=-時，f（x）=-≥0，當且僅當x=1時，等號成立，這個不等式等價于lnx≤x²-x．由此能夠證明對任意的正整數m，n，不等式恒成立．
點評：本題考查函數的單調區間的求法，考查實數的取值范圍的求法，考查不等式恒成立的證明．解題時要認真審題，仔細解答，注意導數的性質和分類討論思想的靈活運用．