Question

已知函數f（t）=

1-t 1+t

，g（x）=cosx•f（sinx）+sinx•f（cosx），x∈（π，

17π

12

]
（1）將函數g（x）化簡成Asin（ωx+φ）+B，（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的形式．
（2）求函數g（x）的值域，
（3）已知函數g（x）與函數y=h（x）關于x=π對稱，求函數y=h（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）由x∈（π，

17π

12

]，可得sinx＜0，cosx＜0．再根據函數g（x）=cosx•

1-sinx

|cosx|

+sinx•

1-cosx

|sinx|

=sinx-1+cosx-1，利用輔助角公式化為

2

sin（x+

π

4

）-2．
（2）由 x∈（π，

17π

12

]，利用正弦函數的定義域和值域求得

2

sin（x+

π

4

）-2 的范圍，可得函數g（x）的值域．
（3）由已知可得在函數h（x）上任意取一點M（x，y），則點M關于x=π的對稱點N（2π-x，y）在函數g（x）上，由此可得函數y=h（x）的解析式．

解答：解：（1）∵x∈（π，

17π

12

]，∴sinx＜0，cosx＜0．
再由函數f（t）=

1-t 1+t

，可得 函數g（x）=cosx•f（sinx）+sinx•f（cosx）=cosx•

1-sinx 1+sinx

+sinx•

1-cosx 1+cosx

 
=cosx•

1-sinx

|cosx|

+sinx•

1-cosx

|sinx|

=sinx-1+cosx-1=

2

sin（x+

π

4

）-2．
（2）由 x∈（π，

17π

12

]，可得

5π

4

＜x+

π

4

≤

5π

3

，-1≤sin（x+

π

4

）＜-

2

2

，
∴-2-

2

≤

2

sin（x+

π

4

）-2＜-3，故函數g（x）的值域為[-2-

2

，-3）．
（3）已知函數g（x）與函數y=h（x）關于x=π對稱，
在函數h（x）上任意取一點M（x，y），則點M關于x=π的對稱點N（2π-x，y）在函數g（x）上，
故有y=

2

sin[（2π-x）+

π

4

]-2=

2

sin（

π

4

-x）=-

2

sin（x-

π

4

）-2，x∈（π，

17π

12

]．

點評：本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．