Question

（理）已知函數f（x）=2^x-1的反函數為f^-1（x），g（x）=log₄（3x+1）
（1）用定義證明f^-1（x）在定義域上的單調性；
（2）若f^-1（x）≤g（x），求x的取值集合D；
（3）設函數H（x）=g（x）-

1

2

f^-1（x），當x∈D時，求函數H（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）求出函數f（x）的反函數f^-1（x）=log₂（x+1）（x＞-1），利用函數的單調性的定義證明f^-1（x）在（-1，+∞）上為單調增函數．
（2）f^-1（x）≤g（x） 即：log₂（x+1）≤log₄（3x+1），即

x+1＞0 3x+1＞0 (x+1)2≤3x+1

，解之得0≤x≤1．
（3）H（x）=g（x）-

1

2

f^-1（x）=

1

2

log2

3x+1

x+1

=

1

2

log2(3-

2

x+1

)，由0≤x≤1，得1≤3-

2

x+1

≤2，
可得函數H（x）的值域．

解答：解：（1）函數f（x）的值域為（-1，+∞），由y=2^x-1，得 x=log₂（y+1），
所以f^-1（x）=log₂（x+1）（x＞-1），任取-1＜x₁＜x₂，
f^-1（x₁）-f^-1（x₂）=log₂（x₁+1）-log₂（x₂+1）=log₂

x1+1

x2+1

，
由-1＜x₁＜x₂得0＜x₁+1＜x₂+1，因此0＜

x1+1

x2+1

＜1，得 log₂

x1+1

x2+1

＜0，
所以f^-1（x₁）＜f^-1（x₂），故f^-1（x）在（-1，+∞）上為單調增函數．
（2）f^-1（x）≤g（x） 即：log₂（x+1）≤log₄（3x+1）?

x+1＞0 3x+1＞0 (x+1)2≤3x+1

?

x+1＞0 (x+1)2≤3x+1

，
解之得0≤x≤1，所以D=[0，1]．
（3）H（x）=g（x）-

1

2

f^-1（x）=log₄（3x+1）-

1

2

log₂（x+1）=

1

2

log2

3x+1

x+1

=

1

2

log2(3-

2

x+1

)，
由0≤x≤1，得1≤3-

2

x+1

≤2，所以0≤log₂（3-

2

x+1

）≤

1

2

，因此函數H（x）的值域為[0，

1

2

]．

點評：本題考查對數函數的單調性和特殊點，求一個函數的反函數H（x）的值域函數，函數單調性的證明方法，求函數的值域，是解題的難點．