Question

（14分）已知圓過點且與圓M:關于直線對稱
(1)判斷圓與圓M的位置關系,并說明理由;
(2)過點作兩條相異直線分別與圓相交于、
①若直線與直線互相垂直，求的最大值；
②若直線與直線與軸分別交于、，且,為坐標原點,試判斷直線與是否平行?請說明理由.

Answer 1

(1)圓M與圓C外切，理由略
(2) ①、被圓所截得弦長之和的最大值為4
②直線和一定平行，理由略。

解:(1)設圓心,則,解得
則圓的方程為,將點的坐標代入得,故圓的方程為
,又兩半徑之和為,圓M與圓C外切.
(2) ①設、被圓所截得弦的中點分別為，弦長分別為，因為四邊形是矩形，所以,即
，化簡得
從而，(時取等號,此時直線PA,PB必有一條斜率不存在)綜上: 、被圓所截得弦長之和的最大值為4
另解：若直線PA與PB中有一條直線的斜率不存在,
則PA=PB=2,此時PA+PB="4."
若直線PA與PB斜率都存在，且互為負倒數，故可設,即
，() 點C到PA的距離為，同理可得點C到PB的距離為，
<16,）
綜上：、被圓所截得弦長之和的最大值為4
②直線和平行,理由如下：
由題意知, 直線和直線的斜率存在,且互為相反數,故可設,
,由,得
因為點的橫坐標一定是該方程的解,故可得
同理,,
所以=
所以,直線和一定平行.