Question

(本小題滿分15分)已知函數f(x)＝，g(x)＝alnx，a∈R.
(1)若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)相交，且在交點處有相同的切線，求a的值及該切線的方程；
(2)設函數h(x)＝f(x)－g(x)，當h(x)存在最小值時，求其最小值φ(a)的解析式；
(3)對(2)中的φ(a)，證明：當a∈(0，＋∞)時，φ(a)≤1

Answer 1

解：(1)f′(x)＝，g′(x)＝(x>0)，

∴兩條曲線交點的坐標為(e²，e)．切線的斜率為k＝f′(e²)＝，
∴切線的方程為y－e＝ (x－e²)．
(2)由條件知h(x)＝－alnx(x>0)，
∴h′(x)＝－＝，
①當a>0時，令h′(x)＝0，解得x＝4a²
∴當0<x<4a²時，h′(x)<0，h(x)在(0,4a²)上單調遞減；
當x>4a²時，h′(x)>0，h(x)在(4a²，＋∞)上單調遞增．
∴x＝4a²是h(x)在(0，＋∞)上的惟一極值點，且是極小值點，從而也是h(x)的最小值點．
∴最小值φ(a)＝h(4a²)＝2a－aln(4a²)＝2a[1－ln (2a)]．

解析