Question

(本小題滿分12分)
己知三棱柱，在底面ABC上的射影恰為AC的中點D，，，又知

(1)求證：平面；
(2)求點C到平面的距離；
(3)求二面角余弦值的大小．

Answer 1

（1）略（2）（3）

解法一
（1）得，因為底，所以，
，所以面，所以   ……3分
因為，，所以底 ……1分

（2）由（1）得，所以是菱形，……1分
所以，，……1分
由，得  ……2分
（3）設，作于，連，由（1）所以，所以為二面角平面角，……2分
在中，所以，所以二面角余弦   ……2分
解法二

（1）如圖，取的中點，則，因為，所以，又平面，以為軸建立空間坐標系，則，，，，，      ……1分
，，，    ……1分
由，知，             ……1分
又，從而平面；    ……1分
（2）由，得    ……1分
設平面的法向量為，，，所以
，設，則    ……2分
所以點到平面的距離    ……1分
（3）再設平面的法向量為，，，……1分
所以，設，則，              ……2分
故，根據法向量的方向可知二面角的余弦值大小為  ……1分