Question

（本小題滿分16分）
已知函數＝＋，a≠0且a≠1．
（1）試就實數a的不同取值，寫出該函數的單調增區間；
（2）已知當x＞0時，函數在(0，)上單調遞減，在(，上單調遞增，求a的值并寫出函數的解析式；
（3）記（2）中的函數圖象為曲線C，試問是否存在經過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解析：（1）①當a＜0時，函數的單調增區間為(，0)，(0，)；
②當0＜a＜1時，函數的單調增區間為，0)，(0，；
③當a＞1時，函數的單調增區間為，)，(，．
（2）由題設及（1）中③知＝，且a＞1，解得a＝3，因此函數解析式為＝＋( x≠0)．
（3）假設存在經過原點的直線l為曲線C的對稱軸，顯然x，y軸不是曲線C的對稱軸，故可設l：y＝kx(k≠0)．
設P(p，q)為曲線C上的任意一點，與P(p，q)關于直線l對稱，且p≠，q≠，則也在曲線C上，由此得＝，＝，且q＝＋，＝＋，整理得k＝，解得k＝或k＝．
所以存在經過原點的直線y＝及y＝為曲線C的對稱軸．

略