Question

（本小題滿分14分）

已知定點A（1，0）和定直線x＝－1的兩個動點E、F，滿足AE⊥AF，動點P滿足EP∥OA，FO∥OP（其中O為坐標原點）.

（1）求動點P的軌跡C的方程；

（2）過點B（0，2）的直線l與（1）中軌跡C相交于兩個不同的點M、N，若∠MAN為鈍角，求直線l的斜率的取值范圍；

（3）過點T（－1，0）作直線m與（1）中的軌跡C交于兩點G、H，問在x軸上是否存在一點D，使△DGH為等邊三角形；若存在，試求出點D的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：

（1）設P（x，y），E（－1，y₁），F（－1，y₂）（y₁、y₂均不為0），

由EP∥OA得y₁＝y，即E（－1，y）.

由FO∥OP得y₂＝－，即F（―1，―），得

AE·AF＝0   （2，－y₁）·（2，y₂）＝0

  y₁y₂＝－4

  y²＝4x（x≠0）

所以動點P的軌跡C的方程為y²＝4x（x≠0）.

（3分）

（2）設直線l的方程y＝kx＋2（k≠0），M（，y₁），N（，y₂）聯立得消去x得ky²－4y＋8＝0，所以y₁＋y₂＝，y₁y­₂＝，且△＝16－32k＞0，即k＜.

所以AM·AN＝·

＝ ＋y₁y­₂

＝

＝＋

因為∠MAN為鈍角，所以AM·AN＜0，所以－12＜k＜0.

（8分）

（3）設m：y＝k(x＋1)（k≠0），代入y²＝4x，得k²x²＋2(k²－2)x＋k²＝0，

由，△＝[2(k²―2)]²―4k²·k²＝－16k²＋16＞0，得|k|＜1.

設G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），則x₁＋x₂＝，x₁x₂＝1，

所以|GH|＝·＝·

＝.

GH的中點Q的坐標為（，）.

假設存在點D（x₀，0），使△DGH為等邊三角形，又邊GH的中垂線方程為

y－＝―(x―).

由D在此中垂線上，得0－＝―(x₀―)，x₀＝＋1.

（11分）

設d為D到直線l的距離，由正三角形的條件有|GH|＝d，可得

，

即3(1－k²)＝k²，k²＝，所以k＝±，x₀＝，故存在點D（，0），使△DGH為等邊三角形.