Question

已知實數集R上的函數f（x）=ax³+bx²+cx+d，其中a、b、c、d是實數．
（1）若函數f（x）在區間（-∞，-1）和（3，+∞）上都是增函數，在區間（-1，3）上是減函數，并且f（0）=-7，f′（0）=-18，求函數f（x）的表達式；
（2）若a、b、c滿足b²＜3ac，求證：函數f（x）是單調函數．

Answer 1

分析：（1）根據題意，f（0）=-7，f′（0）=-18，可以求出d和c的值，再根據函數f（x）在區間（-∞，-1）和（3，+∞）上都是增函數，在區間（-1，3）上是減函數，可以確定-1和3為f′（x）=0的兩個根，代入f′（x）=0，列出方程組，求解即可得到a和b的值，從而求得函數f（x）的表達式；
（2）根據b²＜3ac，確定f'（x）為二次三項式，判斷出△＜0，再根據二次項系數a的正負，分別研究f'（x）的正負，即可證得函數f（x）是單調函數．

解答：解：（1）∵f（x）=ax³+bx²+cx+d，
∴f'（x）=3ax²+2bx+c，
∵f（0）=-7，
∴d=-7，
∵f'（0）=-18，
∴c=-18，
∴f'（x）=3ax²+2bx-18，
∵函數f（x）在區間（-∞，-1）和（3，+∞）上都是增函數，在區間（-1，3）上是減函數，
∴-1和3必是f'（x）=0的兩個根，
∴

3a-2b-18=0 27a+6a-18=0

，解得

a=2 b=-6

，
∴f（x）=2x³-6x²-18x-7；
（2）由（1）可知，f'（x）=3ax²+2bx+c，
∵b²-3ac＜0，
∴a≠0，c≠0，
∴f'（x）為二次三項式，
∵△=（2b）²-4（3ac）=4（b²-3ac）＜0，
∴當a＞0時，f'（x）＞0恒成立，此時函數f（x）是單調增函數，
當a＜0時，f'（x）＜0恒成立，此時函數f（x）是單調減函數，
∴對任意給定的非零實數a，函數f（x）總是單調函數．

點評：本題考查了函數解析式的求解及常用方法，利用導數研究函數的單調性．求函數解析式常見的方法有：待定系數法，換元法，湊配法，消元法等．對于利用導數研究函數的單調性，注意導數的正負對應著函數的單調性．利用導數研究函數問題時，經常會運用分類討論的數學思想方法．屬于中檔題．