Question

設各項均為正數的數列的前項和為，且滿足，.
（1）求的值；
（2）求數列的通項公式；
（3）證明：對一切正整數，有.

Answer 1

（1）；（2）；（3）詳見解析.

試題分析：（1）將代入方程得到，結合題中條件（數列的各項均為正數，得到）求出的值，從而得到的值；（2）由十字相乘法結合得到的表達式，然后在的情況下，由求出數列的表達式，并驗證是否滿足該表達式，從而得到數列的通項公式；（3）解法一是利用放縮法得到
，于是得到，最后利用裂項求和法證明題中的不等式；解法二是保持不放縮，在的條件下放縮為
，最后在和時利用放縮法結合裂項法證明相應的不等式.
（1）令得：，即，，
，，即；
（2）由，得，
，，從而，，
所以當時，，
又，；
（3）解法一：當時，，




.
證法二：當時，成立，
當時，，
則
 
.與的關系考查數列通項的求解，以及利用放縮法證明數列不等式的綜合問題，考查學生的計算能力與邏輯推理能力，屬于中等偏難題.