Question

(本小題滿分13分) 2010年11月在廣州召開亞運會，某小商品公司開發一種亞運會紀念品，每件產品的成本是15元，銷售價是20元，月平均銷售a件，通過改進工藝，產品的成本不變，質量和技術含金量提高，市場分析的結果表明：如果產品的銷售價提高的百分率為x(0<x<1)，那么月平均銷售量減少的百分率為x²，記改進工藝后，該公司銷售紀念品的月平均利潤是y(元)．
(1)寫出y與x的函數關系式；
(2)改進工藝后，確定該紀念品的售價，使該公司銷售該紀念品的月平均利潤最大．

Answer 1

解: (1)改進工藝后，每件產品的銷售價為20(1＋x)元，月平均銷售量為a(1－x²)件，則月平均利潤
y＝a(1－x²)[20(1＋x)－15](元)，
∴y與x的函數關系式為
y＝5a(1＋4x－x²－4x³)(0<x<1)．
(2)由y′＝5a(4－2x－12x²)＝0得x₁＝，x₂＝－(舍)，
∴當0<x<時，y′>0；當<x<1時，y′<0.
∴函數y＝5a(1＋4x－x²－4x³)(0<x<1)在x＝處取得最大值．
故改進工藝后，紀念品的銷售價為20＝30元時，該公司銷售該紀念品的月平均利潤最大．

略