Question

已知函數在點處的切線方程是x+ y－l=0，其中e為自然對數的底數，函數g（x）=1nx－ cx+ 1+ c（c>0），對一切x∈（0,+）均有恒成立．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）求證：.

Answer 1

（Ⅰ）,,；（Ⅱ）詳見解析.

試題分析：（Ⅰ）利用導數的幾何意義求、，利用導數導數法判斷單調性，用函數的最值積恒成立求；（Ⅱ）構造新函數，利用導數法求的最小值，利用結合（Ⅰ）中的結論進行證明.
試題解析：（Ⅰ）,,,
,.                                  (2分)
,由于,
所以當時,是增函數,
當時,是減函數,
,
由恒成立，，即恒成立，①     （4分）
令，則，
在上是增函數，上是減函數，
，即，當且僅當時等號成立 .
，
由①②可知，，所以.            (6分)
（Ⅱ）證法一:所求證不等式即為.
設,,
當時,是減函數,
當時,是減函數,
,即.             (8分)
由（Ⅰ）中結論②可知,,,當時,,
從而                    (10分)

.
(或者也可)
即,原不等式成立.                           (12分)