Question

如圖，海上有兩個小島相距10，船O將保持觀望A島和B島所成的視角為，現從船O上派下一只小艇沿方向駛至處進行作業，且．設。

（1）用分別表示和，并求出的取值范圍；

（2）晚上小艇在處發出一道強烈的光線照射A島，B島至光線的距離為，求BD的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）；，（2）

【解析】

試題分析：（1）在和中，分別用余弦定理AC，AB，然后兩式相加即得的表達式；兩式相減即得的表達式，由和確定x的取值范圍.（2）由、和可得到關于BD的函數式，然后通過求導，求出BD的最大值.

試題解析：解：（1）在中，，，由余弦定理得，，

又，所以 ①，

在中，，

由余弦定理得， ②，         3分

①+②得，① ②得，即，  4分

又，所以，即，

又，即，所以；      6分

  （2）易知，故，     8分

又，設，所以，       9分

又則在上是增函數，

所以的最大值為，即BD的最大值為10．          12分

（利用調性定義證明在上是增函數，同樣給滿分；如果直接說出上是增函數，但未給出證明，扣2分．）

考點：1.余弦定理；2.函數的導數及其導數性質的應用.