Question

平面直角坐標系xOy內有向量＝(1,7)，＝(5,1)，＝(2,1)，點Q為直線OP上一動點．
(1)當·取得最小值時，求坐標；
(2)當點Q滿足(1)中條件時，求cos∠AQB的值．

Answer 1

(1)當y＝2時，·有最小值－8，此時＝(4,2)．(2)－.

試題分析：(1)設＝(x，y)，∴點Q在直線上，
∴向量與共線，又＝(2,1)，
∴x－2y＝0，即x＝2y，∴＝(2y，y)，
又＝－＝(1－2y,7－y)，＝(5－2y,1－y)
∴·＝(1－2y)·(5－2y)＋(7－y)·(1－y)＝5y²－20y＋12＝5(y－2)²－8，
故當y＝2時，·有最小值－8，此時＝(4,2)．
(2)由(1)知＝(－3,5)，＝(1，－1)，·＝－8，||＝，＝.
∴cos∠AQB＝＝－.
點評：中檔題，本題綜合考查平面向量的線性運算，平面向量的數量積，平面向量的坐標計算，二次函數的圖象和性質，對學生的計算能力有較高要求。向量的夾角公式。平面向量模的計算，往往“化模為方”，轉化成向量的運算。