Question

已知關于x的方程sinx+cosx=a
（1）若方程有實數解，求實數a的取值范圍
（2）若方程x∈[0，π]時有兩個相異的實數解，求實數a的范圍及兩實數解的和．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和與差公式可得a=

2

sin（x+

π

4

），進而由正弦函數的特點求出

2

sin（x+

π

4

）的值域即可知a的取值范圍；
（2）利用兩角和與差公式可得a=

2

sin（x+

π

4

），進而把問題轉化成y₁=a y₂=sin（x+

π

4

），x∈[0，π]有兩個交點問題，將圖象畫出即可得出答案．

解答：解：（1）∵sinx+cosx=a
∴a=

2

sin（x+

π

4

），
∴-

2

≤a≤

2

（2））∵sinx+cosx=a
∴a=

2

sin（x+

π

4

），
設y₁=a y₂=sin（x+

π

4

），
由題意可知y₁=a y₂=sin（x+

π

4

），x∈[0，π]有兩個交點
如圖示知a∈[1，

2

]
設兩相異實根為x₁，x₂，由圖示⇒x₁+x₂=2×

π

4

=

π

2

點評：本題考查三角函數的值域以及兩角和與差公式，（2）問將圖畫出是解題的關鍵．