Question

已知定義域為R上的函數f（x）滿足，對任意的x，y，恒有f(x-y)=

f(x)

f(y)

且當x＞0時，0＜f(x)＜1，
（1）求證f（0）=1，且當x＜0時有f（x）＞1．
（2）判斷f（x）在R上的單調性并證明．
（3）若對任意的x∈R，不等式f（ax²）•f（1-ax）＞f（2）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）在恒等式中，令x=y=0，即可得到f（0）的值，利用恒等式找到f（x）與f（-x）之間的關系，利用x＞0時，0＜f（x）＜1，即可得到當x＜0時有f（x）＞1；
（2）利用恒等式將不等式f（ax²）•f（1-ax）＞f（2）轉化為f（ax²-ax+1）＞f（2），再利用函數的單調性，可以得到ax²-ax+1＜2對x∈R恒成立，利用函數的性質，列出不等關系，求解即可得到實數a的取值范圍．

解答：證明：（1）∵已知定義域為R上的函數f（x）滿足，對任意的想x，y，恒有f(x-y)=

f(x)

f(y)

，
∴令x=y=0，可得f(0)=

f(0)

f(0)

=1，即f（0）=1，
再令x=0，可得f(-y)=

f(0)

f(y)

=

1

f(y)

，
∴f(y)=

1

f(-y)

，即f（x）=

1

f(-x)

，
∴當x＜0時，-x＞0，
∵x＞0時，0＜f（x）＜1，
∴0＜f（-x）＜1，
∴f（x）=

1

f(-x)

＞1，
故f（0）=1，且當x＜0時有f（x）＞1；
（2）f（x）在R上遞減，
證明如下：設x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∵f(x-y)=

f(x)

f(y)

，且當x＞0時，0＜f（x）＜1，
∴

f(x2)

f(x1)

=f(x2-x1)＜1，又f(x1)＞0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在R上遞減；
（3）∵f(x-y)=

f(x)

f(y)

，
∵f(x+y)=f[x-(-y)]=

f(x)

f(-y)

=f(x)f(y)，
∴f（ax²）•f（1-ax）=f（ax²-ax+1）＞f（2）對x∈R恒成立，
由（2）可知，f（x）在R上單調遞減，
∴ax²-ax+1＜2對x∈R恒成立，即ax²-ax-1＜0對x∈R恒成立，
①當a=0時，-1＜0恒成立，符合題意；
②當a≠0時，則有

a＜0 △=a2+4a＜0

，
∴-4＜a＜0．
綜合①②，所求實數a的取值范圍為（-4，0]．

點評：本題考查了抽象函數及其應用，函數單調性的判斷與證明，函數的恒成立問題．證明函數的單調性要抓住函數單調性的定義，函數的恒成立問題一般選用參變量分離法、最值法、數形結合進行求解．屬于中檔題．