Question

已知向量，，函數．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）當x∈[0，π]時，求f（x）的單調遞增區間；
（3）說明f（x）的圖象可以由g（x）=sinx的圖象經過怎樣的變換而得到．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接利用向量的數量積，通過二倍角公式與兩角差的正弦函數，化簡函數我一個角的一個三角函數的形式，即可求函數f（x）的解析式；
（2）利用正弦函數的單調增區間求出函數的單調增區間與x∈[0，π]取交集，即可求f（x）的單調遞增區間；
法二通過x的范圍，求出2x-的范圍，然后利用函數的最值時的2x-的值，即可得到單調增區間．
（3）利用左加右減，與伸縮變換的原則，直接說明f（x）的圖象可以由g（x）=sinx的圖象經過變換而得到．
解答：解：（1）∵=
=      2分
∴f（x）=1-=，…（3分）
∴f（x）=．…（4分）
（2）由，
解得，…（6分）
∵取k=0和1且x∈[0，π]，得和，
∴f（x）的單調遞增區間為和．…（8分）
法二：∵x∈[0，π]，∴，
∴由和，…（6分）
解得和，
∴f（x）的單調遞增區間為和．…（8分）
（3）g（x）=sinx的圖象可以經過下面三步變換得到f（x）=的圖象：g（x）=sinx的圖象向右平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），最后把所得各點的縱坐標伸長為原來的2倍（橫坐標不變），得到f（x）=的圖象．…（14分）（每一步變換2分）
點評：本題借助向量的數量積的化簡，求解函數的解析式，考查三角函數的基本性質，函數的圖象的變換．