Question

已知拋物線y²=2px（p＞0），橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，如圖示，K為與焦點F對應的準線與x軸的交點，AB為過焦點的垂直于x軸的弦．
（1）在拋物線中，已知∠AKB為直角，則在橢圓和雙曲線中∠AKB還為直角嗎？試證明你的合情推理所得到的結論；
（2）在拋物線中，已知直線KA與拋物線只有一個公共點A，則在橢圓和雙曲線中也有類似的性質嗎？試選擇橢圓證明你的類比推理．

Answer 1

分析：（1）在橢圓與雙曲線中，分別求出點K，A的坐標，利用正切定義可得tan∠AKF的大小，進而判斷出∠AKB的大小；
（2）在橢圓和雙曲線中有相同的性質．由于在橢圓中同（1）可知直線KA的斜率是離心率e，
可得直線KA的方程與橢圓方程聯立，可得△=0，即可得出直線KA與橢圓只有一個公共點A．

解答：解：（1）在橢圓中，K(-

a2

c

，0)，A(-c，

b2

a

)，tan∠AKF=

b2 a -0

-c+ a2 c

=

c

a

=e＜1，
∴∠AKF＜45⁰，
得∠AKB=2∠AKF為銳角；                                        
同樣，在雙曲線中，K(

a2

c

，0)，A(c，

b2

a

)，tan∠AKF=

b2 a -0

c- a2 c

=

c

a

=e＞1，
∴∠AKF＞45⁰，
從而∠AKB=2∠AKF為鈍角．                                      
（2）在橢圓和雙曲線中有相同的性質．
在橢圓中同（1）可知直線KA的斜率是離心率e，
直線KA的方程為y=

c

a

(x+

a2

c

)，代入b²x²+a²y²=a²b²，得x²+2cx+c²=0，
△=0，x₁=x₂=-c，∴直線KA與橢圓只有一個公共點A．

點評：熟練掌握圓錐曲線的標準方程及其性質、直線與圓錐曲線的位置關系及其判斷方法等是解題的關鍵．