Question

已知函數.
（Ⅰ）求函數的單調區間；
（Ⅱ）若函數上是減函數，求實數a的最小值；
（Ⅲ）若，使（）成立，求實數a的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）單調減區間是,增區間是.；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

試題分析：（1）先求，解不等式并和定義域求交集，得的單調遞增區間；解不等式并和定義域求交集，得的單調遞減區間；（2）等價于在時恒成立，即，故，得實數a的取值范圍；（3）由特稱量詞的含義知，在區間內存在兩個獨立變量，使得已知不等式成立，等價于的最小值小于等于的最大值，分別求兩個函數的最小值和最大值，建立實數的不等式，進而求的范圍.
試題解析：由已知函數的定義域均為,且.
（Ⅰ）函數，當且時,;當時,.
所以函數的單調減區間是,增區間是.
（Ⅱ）因f(x)在上為減函數，故在上恒成立．
所以當時，．又，故當，即時，．所以于是，故a的最小值為．
（Ⅲ）命題“若使成立”等價于“當時，
有”．
由（Ⅱ），當時，，． 問題等價于：“當時，有”．
當時，由（Ⅱ），在上為減函數，則=，故．
當0<時，由于在上為增函數，故的值域為，即．由的單調性和值域知，唯一，使，且滿足：當時，，為減函數；當時，，為增函數；所以，=，．所以，，與矛盾，不合題意．綜上，得．