Question

(本小題滿分12分）

如圖，在直三棱柱、中，平面丄平面.

(I)求證：AB 丄 BC

（II)若直線AC與平面所成的角為，二面角的大小為，試判斷與的大小關系，并予以證明.

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【解及證】（Ⅰ）證明：如右圖，過點A在平面A₁ABB₁內作AD⊥A₁B于D，…………1分

 則由平面A₁BC⊥側面A₁ABB₁于A₁B，得AD⊥平面A₁BC, …………2分　

又BC平面A₁BC，∴AD⊥BC. 　　　…………3分

∵三棱柱ABC—A₁B₁C₁是直三棱柱，則AA₁⊥底面ABC，∴AA₁⊥BC. …4分

又AA₁∩AD=A,從而BC⊥側面A₁ABB₁，　　　　　　　　…………5分

又AB側面A₁ABB₁，故AB⊥BC　　　　　………………………6分

（Ⅱ）解法1：連接CD，則由（Ⅰ）知是直線AC與平面A₁BC所成的角，…………7分

是二面角A₁—BC—A的平面角，即　　　　　　………..…8分

于是在Rt△ADC中，………9分　　在Rt△ADB中，　……….10分

由AB＜AC，得又所以　　　　　　…………………….12分

解法2：由（Ⅰ）知，以點B為坐標原點，以BC、BA、BB₁所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，　　　　　　　　………………7分

設AA₁=a,AC=b,AB=c,則 B(0,0,0), A(0,c,0),

 于是

，，　……8分

設平面A₁BC的一個法向量為=(x,y,z)，則由得　……9分

可取=(0,,c)，于是c＞0，與n的夾角為銳角，則與互為余角.

 ∴sinθ=cosβ==，  cosφ=，

∴于是由＜b，得即又

∴…..12分.