Question

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，連結(jié)并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)C，連結(jié).
（1）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為,且,求橢圓的方程；
（2）若求橢圓離心率e的值.

Answer 1

（1）（2）

解析試題分析：（1）由|BF₂|=知=2，將C點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程即可求出b，從而寫出橢圓方程；（2）由兩點(diǎn)式求出BF₂方程，將BF₂方程與橢圓方程聯(lián)立求出A點(diǎn)坐標(biāo)，從而寫出C的坐標(biāo)，利用則其斜率之積為-1，列出關(guān)于a,c方程，從而求出橢圓的離心率.
試題解析：設(shè)橢圓的焦距為,則且點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/45/e/ofsy51.png" style="vertical-align:middle;" />
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,故,
所以,所求橢圓的方程為.
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/52/2/1e8go3.png" style="vertical-align:middle;" />在直線上,所以直線的方程是
由或
所以點(diǎn)坐標(biāo)為,又軸,由橢圓的對(duì)稱性,可得
點(diǎn)坐標(biāo)為
因此直線的斜率為
因?yàn)橹本�的斜率是,由
考慮到,化簡(jiǎn)得
所以,橢圓的離心率為.
考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系