Question

設函數y＝f(x)在R上滿足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在區間[0，7]上，只有兩個零點1，3．

(1)試判斷函數y＝f(x)的奇偶性；

(2)試求方程f(x)＝0在區間[－2005，2005]上的根的個數．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由f(2－x)＝f(2＋x)，得f(－1)＝f(5)．又f(5)≠0，而f(1)＝0，所以f(1)≠f(－1)，所以函數y＝f(x)不是偶函數．因為y＝f(x)在[0，7]上，只有兩個零點1，3，所以f(0)≠0，所以函數y＝f(x)不是奇函數．故函數y＝f(x)是非奇非偶函數． 　　(2) 　　因為f(3)＝f(1)＝0， 　　所以f(11)＝f(13)＝f(－7)＝f(－9)＝0，即y＝f(x)在[0，10]，[－10，0)上各有2個根，所以y＝f(x)在[0，2000]，[－2000，0)上各有400個根，而在[2000，2005]上有2個根，在[－2005，－2000)上沒有根，所以f(x)＝0在區間[－2005，2005]上有802個根．