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記函數f（x）的定義域為D，若存在x0∈D，使得f（x）=x成立，則稱（x0，x0）為函數f（x）圖象上的“穩(wěn)定點”.

（1）是否存在實數a，使函數f（x）=的圖象上有且僅有兩個相異的穩(wěn)定點?若存在，求出范圍；若不存在，請說明理由.

（2）若函數f（x）是定義在R上的奇函數，求證：函數必有奇數個穩(wěn)定點.

（1）解：設函數f（x）=的圖象上有且僅有兩個相異的穩(wěn)定點，則f（x）==x，即有兩個相異的根，

所以

解之，得a＞5或a＜1，a≠-.

因此存在a∈（-∞，-）∪（-，1）∪（5，+∞）使得函數f（x）=的圖象上有且僅有兩個相異的穩(wěn)定點.

（2）證明：因為函數f（x）是定義在R上的奇函數，所以f（-0）=-f（0），即f（0）=0.因此（0，0）是f（x）的一個穩(wěn)定點.假設函數還有穩(wěn)定點（x0，x0），即f（x0）=x0，則必定有f（-x0）=-x0.這說明（-x0，-x0）也是函數的穩(wěn)定點.

綜上所述，奇函數的穩(wěn)定點除原點外，都是成對出現，因此其穩(wěn)定點的個數是奇數.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

記函數f（x）的定義域為D，若存在x0∈D，使f（x0）=x0成立，則稱以（x0，y0）為坐標的點是函數f（x）的圖象上的“穩(wěn)定點”．
（1）若函數f(x)=
3x-1x+a
的圖象上有且只有兩個相異的“穩(wěn)定點”，試求實數a的取值范圍；
（2）已知定義在實數集R上的奇函數f（x）存在有限個“穩(wěn)定點”，求證：f（x）必有奇數個“穩(wěn)定點”．

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科目：高中數學 來源： 題型：

記函數f（x）的定義域為D，若存在x0∈D，使f（x0）=x0成立，則稱以（x0，x0）為坐標的點為函數f（x）圖象上的不動點．
（1）若函數f(x)=
3x+a
x+b
圖象上有兩個關于原點對稱的不動點，求實數a，b應滿足的條件；
（2）設點P（x，y）到直線y=x的距離d=
|x-y|
2
．在（1）的條件下，若a=8，記函數f（x）圖象上的兩個不動點分別為A1，A2，P為函數f（x）圖象上的另一點，其縱坐標yP＞3，求點P到直線A1A2距離的最小值及取得最小值時點P的坐標．
（3）下述命題“若定義在R上的奇函數f（x）圖象上存在有限個不動點，則不動點有奇數個”是否正確？若正確，請給予證明；若不正確，請舉一反例．若地方不夠，可答在試卷的反面．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

記函數f（x）的定義域為D，若存在x0∈D，使f（x0）=x0成立，則稱以（x0，x0）為坐標的點為函數f（x）圖象上的不動點．
（1）若函數f(x)=
3x+a
x+b
圖象上有兩個關于原點對稱的不動點，求實數a，b應滿足的條件；
（2）設點P（x，y）到直線y=x的距離d=
|x-y|
2
．在（1）的條件下，若a=8，記函數f（x）圖象上的兩個不動點分別為A1，A2，P為函數f（x）圖象上的另一點，其縱坐標yP＞3，求點P到直線A1A2距離的最小值及取得最小值時點P的坐標．
（3）下述命題“若定義在R上的奇函數f（x）圖象上存在有限個不動點，則不動點有奇數個”是否正確？若正確，請給予證明；若不正確，請舉一反例．若地方不夠，可答在試卷的反面．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年廣東省茂名市高州中學高一（上）期中數學試卷（解析版） 題型：解答題

記函數f（x）的定義域為D，若存在x∈D，使f（x）=x成立，則稱以（x，y）為坐標的點是函數f（x）的圖象上的“穩(wěn)定點”．
（1）若函數的圖象上有且只有兩個相異的“穩(wěn)定點”，試求實數a的取值范圍；
（2）已知定義在實數集R上的奇函數f（x）存在有限個“穩(wěn)定點”，求證：f（x）必有奇數個“穩(wěn)定點”．

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