Question

若方程x²+（

2

sin2θ）x+2cosθ=0（其中0＜θ＜π的兩實根為α、β，數列1，

1

α

+

1

β

，（

1

α

+

1

β

）²，…的所有項的和為2-

2

，試求θ的值．

Answer 1

分析：根據一元二次方程根與系數的關系，得α+β=-

2

sin2θ，αβ=2cosθ．由無窮等比數列的求和公式，得

1

1+ 2 sinθ

=2-

2

，解得sinθ=

1

2

，所以θ=

π

6

或

5π

6

，而θ=

π

6

時原方程無實數根，故只有θ=

5π

6

符合題意，得到本題的答案．

解答：解：∵方程x²+（

2

sin2θ）x+2cosθ=0（其中0＜θ＜π的兩實根為α、β，
∴△=（

2

sin2θ）²-4×2cosθ≥0 …（1）
且α+β=-

2

sin2θ，αβ=2cosθ
由題意，得|

1

α

+

1

β

|＜1，
∴|

α+β

αβ

|=|

- 2 sin2θ

2cosθ

|=

2

|sinθ|＜1，即|sinθ|＜

2

2

∵0＜θ＜π，∴0＜sinθ＜

2

2

…（2）
∵等比數列1，

1

α

+

1

β

，（

1

α

+

1

β

）²，…的所有項的和為S=

1

1-( 1 α + 1 β )

=2-

2

，
∴

1

1+ 2 sinθ

=2-

2

，解之得sinθ=

1

2

，符合（2）
∴θ=

π

6

或

5π

6

，經檢驗θ=

π

6

不滿足（1），故只有θ=

5π

6

符合題意
綜上所述，θ的值為

5π

6

點評：本題以一元二次方程根與系數的關系和根的判別式為載體，考查了三角函數的化簡求值和無窮遞縮等比數列求和公式等知識點，屬于中檔題．