Question

設函數f（x）是定義域為R的函數，有下列命題：
①對任意x∈R，f（x+1）=f（1-x）成立，那么函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱；
②對任意x∈R，f（x）+f（1-x）=2成立，那么函數f（x）的圖象關于點（1，1）對稱；
③對任意x∈R，f（x）+f（x+1）=0成立，那么函數f（x）是周期為2的周期函數；
④對任意x∈R，f（1-x）+f（x-1）=0成立，那么函數f（x）是奇函數．
其中正確的命題的序號是

 

．（把你認為正確的命題的序號都填上）

Answer 1

分析：題目給出的四個命題都是對函數性質的應用，在給出的四個命題中靈活的把變量x加以代換，再結合函數的對稱性、周期性和奇偶性就可以得到正確答案．

解答：解：①對任意x∈R，f（x+1）=f（1-x）成立，說明在直線x=1左右兩側取等距離兩點的自變量的值時對應的函數值相等，所以函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱，①正確；
②若函數f（x）的圖象關于點（1，1）對稱，把該函數圖象向左向下各平移一個單位得函數y=f（x+1）-1，則此函數為奇函數，所以f（-x+1）-1=-f（x+1）+1，所以f（1-x）+f（1+x）=2，
與給出的等式矛盾，所以②不正確；
③由f（x）+f（x+1）=0，取x=x+1得：f（x+1）+f（x+2）=0，兩式作差得f（x）=f（x+2），所以函數是以2為周期的周期函數，③正確；
④由f（1-x）+f（x-1）=0，取x=1+x得：f（-x）+f（x）=0，所以f（-x）=-f（x），所以函數f（x）為奇函數，④正確．
故答案為①③④．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了函數的性質，解答的關鍵是對變量x靈活賦值和變形，是易錯題．