Question

設f(x)＝x³＋mx²＋nx.

(1)如果g(x)＝f′(x)－2x－3在x＝－2處取得最小值－5，求f(x)的解析式；

(2)如果m＋n<10(m，n∈N^*)，f(x)的單調遞減區間的長度是正整數，試求m和n的值．(注：區間(a，b)的長度為b－a)．

Answer 1

解析　(1)由題得g(x)＝x²＋2(m－1)x＋(n－3)＝(x＋m－1)²＋(n－3)－(m－1)²，已知g(x)在x＝－2處取得最小值－5，

所以即m＝3，n＝2.

即得所要求的解析式為f(x)＝x³＋3x²＋2x.

(2)因為f′(x)＝x²＋2mx＋n，且f(x)的單調遞減區間的長度為正整數，故f′(x)＝0一定有兩個不同的根，

從而Δ＝4m²－4n>0，即m²>n.

不妨設為x₁，x₂，則|x₂－x₁|＝2為正整數．

故m≥2時才可能有符合條件的m，n，

當m＝2時，只有n＝3符合要求，

當m＝3時，只有n＝5符合要求，

當m≥4時，沒有符合要求的n.

綜上所述，只有m＝2，n＝3或m＝3，n＝5滿足上述要求．