Question

（2012•丹東模擬）設函數f（x）是定義在R上的奇函數，且當x≥0時，f（x）單調遞減，若數列{a_n}是等差數列，且a₃＜0，則f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+f（a₄）+f（a₅）的值（　　）

A．恒為正數

B．恒為負數

C．恒為0

D．可正可負

Answer 1

分析：由題設知a₂+a₄=2a₃＜0，a₁+a₅=2a₃＜0，x≥0，f（x）單調遞減，所以在R上，f（x）都單調遞減，因為f（0）=0，所以x≥0時，f（x）＜0，x＜0時，f（x）＞0，由此能夠導出（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+f（a₄）+f（a₅）的值恒為正數．

解答：解：∵函數f（x）是定義在R上的奇函數，
且當x≥0時，f（x）單調遞減，
數列{a_n}是等差數列，且a₃＜0，
∴a₂+a₄=2a₃＜0，
a₁+a₅=2a₃＜0，
x≥0，f（x）單調遞減，
所以在R上，f（x）都單調遞減，
因為f（0）=0，
所以x≥0時，
f（x）＜0，x＜0時，f（x）＞0，
∴f（a₃）＞0
∴f（a₁）+f（a₅）＞0，
∴f（a₂）+f（a₄）＞0．
故選A．

點評：本題考查數列與函數的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．