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已知向量
a
=（cos
3
x，sin
3
x），
b
=（cosx，sinx）（0＜x＜π）．設函數f（x）=
a
•
b
，且f（x）+f'（x）為偶函數．
（1）求x的值；
（2）求f（x）的單調增區間．
分析：（1）首先利用向量求得f（x），然后求出函數f（x）的導數，進而表示出f（x）+f'（x），再根據偶函數的定義求出結果；
（2）由（1）得出f（x）=cos（
3
x-
π
3
），再由余弦的單調性求出增區間即可．
解答：解：（1）f（x）=
a
•
b
=cos
3
xcos?+sin
3
xsin?=cos（
3
x-?），
所以f（x）+f'（x）=cos（
3
x-?）-
3
sin（
3
x-?）=2cos（
3
x-?+
π
3
），
而f（x）+f'（x）為偶函數，則有-?+
π
3
=kπ，k∈Z，又0＜?＜π，則k=0，即?=
π
3
．
（2）由（1）得f（x）=cos（
3
x-
π
3
），由2kπ-π≤
3
x-
π
3
≤2kπ，
解得
1
3
（2kπ-
2π
3
）≤x≤
1
3
（2kπ+
π
3
），
即此函數的單調增區間為[
2
3
3
kπ-
2
3
9
π，
2
3
3
kπ+
3
9
π]（k∈Z）．
點評：本題考查了三角函數的化簡、余弦的單調性以及偶函數的定義，平時要牢記三角函數的奇偶性和單調性，屬于基礎題．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（cosα，1），
b
=（-2，sinα），α∈(π，
3π
2
)，且
a
⊥
b

（1）求sinα的值；
（2）求tan(α+
π
4
)的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（cos（-θ），sin（-θ）），
b
=(cos(
π
2
-θ)，sin(
π
2
-θ))．
（1）求證：
a
⊥
b
．
（2）若存在不等于0的實數k和t，使
x
=
a
+（t2+3）
b
，
y
=（-k
a
+t
b
），滿足
x
⊥
y
，試求此時
k+t2
t
的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]，向量
b
=（
3
，1），b=(
3
，1)，
a
∥
b
，則θ=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（cosα，sinα），
b
=（sinβ，-cosβ），則|
a
+
b
|最大值為（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（cosθ，sinθ），向量
b
=（2
2
，-1），則|3
a
-
b
|的最大值是
 
．

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