Question

如圖,在四棱錐中,⊥底面,四邊形是直角梯形,⊥,∥,,.

(1)求證:平面⊥平面；
(2)求點(diǎn)C到平面的距離；
(3)求PC與平面PAD所成的角的正弦值。

Answer 1

（1）見解析；（2）；（3）。

解析試題分析：（1）平面，需證BC⊥平面PAB, 由⊥底面得PA⊥BC,又已知⊥,
故問題得證；（2）利用等體積轉(zhuǎn)化法，；（3）根據(jù)線面角的定義，求出點(diǎn)C到平面PAD的距離、線段的長度，即可求出PC與平面PAD所成的角的正弦值。 
試題解析：(1)∵PA⊥平面ABCD, BC Ì平面ABCD,∴PA⊥BC,
又AB⊥BC,PA∩AB=A, ∴BC⊥平面PAB,
∵BC Ì平面PBC, ∴平面PBC⊥平面PAB 
(2), ∵
,
設(shè)點(diǎn)C到平面PBD的距離為,∵，
∴,∴
由(2)知, ,又,∴
連接AC交BD于E,,
由相似形可得,點(diǎn)C到平面PAD的距離=,,
∴PC與平面PAD所成的角的正弦值是。      
考點(diǎn)：（1）空間線面平垂直、面面平垂直判定定理的應(yīng)用；（2）空間線面角的定義及求法；（3）空間點(diǎn)面距離概念與求法。