Question

已知f(x)=

x-2m-5

x+2

，g(x)=mx-m-2，(m≠-

7

2

)
（I）討論f（x）在區間（-2，+∞）上的單調性，并證明；
（II）若方程f（x）=g（x）至少有一個正數根，求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）令t=2-m，對（II）中的m，求函數g(t)=

4[t]2+1

4[t]+[ 1 t ]

的最小值．
（其中[t]表示不超過t的最大整數，例如：[1]=1，[2.6]=2，[-2.6]=-3）

Answer 1

分析：（I）運用函數的定義判斷證明函數的單調性的步驟：①取值x₁，x₂∈（-2，+∞）；②作差f（x₁）-f（x₂）變形；③定號；④下結論；
（II）由f（x）=g（x），整理得：mx²+（m-3）x+1=0，然后對m進行分類討論，研究方程f（x）=g（x）至少有一個正數根，從而求出實數m的取值范圍．
（Ⅲ）若m=1，則t=1，g(t)=

4[t]2+1

4[t]+[ 1 t ]

=1；若m＜1，則[

1

t

]=0，g(t)=

4[t]2+1

4[t]+[ 1 t ]

=

4[t]2+1

4[t]

=[t]+

1

4[t]

≥1，取等號當且僅當[t]=

1

2

這是不可能的，所以g(t)=

4[t]2+1

4[t]+[ 1 t ]

＞1，從而只有當m=1時，g（t）取最小值1．

解答：解：（Ⅰ）因為f(x)=1-

2m+7

x+2

，所以，當m＞-

7

2

時，f（x）在區間（-2，+∞）上為增函數，
當m＜-

7

2

時，f（x）在區間（-2，+∞）上為減函數．…（1分）
任取x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂，則f(x1)-f(x1)=-

2m+7

x1+2

+

2m+7

x2+2

=

(2m+7)(x1-x2)

(x1+2)(x2+2)

，
因為x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂，所以，（x₁+2）（x₂+2）＞0，且x₁-x₂＜0，當m＞-

7

2

時，有f（x₁）-f（x₁）＜0，f（x）在區間（-2，+∞）上為增函數；
當m＜-

7

2

時，有f（x₁）-f（x₁）＞0，f（x）在區間（-2，+∞）上為減函數．…（4分）
（Ⅱ）f（x）=g（x）?x-2m-5=mx²+（m-2）x-2m-4，整理得：mx²+（m-3）x+1=0，…（5分），
令h（x）=mx²+（m-3）x+1
當m=0時，x=

1

3

，符合題設；
當m＜0時，必有△＞0，且x1x2=

1

m

＜0，h（-2）=2m+7≠0，所以也符合題設；
當m＞0時，因為x1x2=

1

m

＞0，
所以，方程的兩根必須都是正根，有：

△=(m-3)2-4m≥0 x1+x2= 3-m m ＞0

，
解得：0＜m≤1，
綜上所述，m≤1且m≠-

7

2

．…（7分）
（Ⅲ）因為m≤1，所以t=2-m≥1，[

1

t

]=1或0
若m=1，則t=1，g(t)=

4[t]2+1

4[t]+[ 1 t ]

=1；
若m＜1，則[

1

t

]=0，g(t)=

4[t]2+1

4[t]+[ 1 t ]

=

4[t]2+1

4[t]

=[t]+

1

4[t]

≥1，
取等號當且僅當[t]=

1

2

這是不可能的，
所以g(t)=

4[t]2+1

4[t]+[ 1 t ]

＞1，所以當m=1時，g（t）取最小值1．
…10

點評：本題主要考查函數單調性的應用．運用函數的定義判斷證明函數的單調性的步驟：（1）取值；（2）作差變形；（3）定號；（4）下結論．取值時，必須注意定義中的x₁、x₂具有的三個特征；變形時，一定要分解完全，對于抽象函數問題注意合理的利用條件等．