Question

選做題：已知x，y，z∈R⁺，且x+y+z=1．
（1）若2x²+3y²+6z²=1，求x，y，z的值；
（2）若2x²+3y²+tz²≥1恒成立，求正數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）x，y，z∈R⁺，且x+y+z=1，由2x²+3y²+6z²=1，令，能求出x，y，z的值．
（2）由柯西不等式得（2x²+3y²+tz²）（++）＞（x+y+z）²=1，由2x²+3y²+tz²≥1恒成立，知（）≥1，由此能求出正數t的取值范圍．
解答：解：（1）∵x，y，z∈R⁺，且x+y+z=1，
∴由2x²+3y²+6z²=1，令，
解得，，．
（2）柯西不等式得：（2x²+3y²+tz²）（++）＞（x+y+z）²=1，
∵2x²+3y²+tz²≥1恒成立，
∴（）≥1
即≥1
解得0＜t≤6
點評：本題考查不等式的性質和應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意柯西不等式的靈活運用．