Question

已知a∈R，函數f(x)＝(－x²＋ax)e^x(x∈R，e為自然對數的底數)．

(1)當a＝2時，求函數f(x)的單調遞增區間；

(2)若函數f(x)在(－1,1)上單調遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

 (1)當a＝2時，f(x)＝(－x²＋2x)e^x，

∴f′(x)＝(－2x＋2)e^x＋(－x²＋2x)e^x＝(－x²＋2)e^x.

令f′(x)＞0，即(－x²＋2)e^x＞0，

∵e^x＞0，∴－x²＋2＞0，解得－＜x＜.

∴函數f(x)的單調遞增區間是(－，)．

(2)∵函數f(x)在(－1,1)上單調遞增，

∴f′(x)≥0對x∈(－1,1)都成立．

∵f′(x)＝(－2x＋a)e^x＋(－x²＋ax)e^x

＝[－x²＋(a－2)x＋a]e^x，

∴[－x²＋(a－2)x＋a]e^x≥0對x∈(－1,1)都成立．

∵e^x＞0，

∴－x²＋(a－2)x＋a≥0對x∈(－1,1)都成立．

即a≥＝＝x＋1－對x∈(－1,1)都成立．

令y＝x＋1－，則y′＝1＋＞0，

∴y＝x＋1－在(－1,1)上單調遞增，

∴y＜1＋1－＝，∴a≥.