Question

已知函數.
（1）求函數的定義域，并判斷的奇偶性；
（2）用定義證明函數在上是增函數；
（3）如果當時，函數的值域是，求與的值.

Answer 1

．解：（1） ，函數是奇函數.
（2）設、算、證、結
（3），

試題分析：
思路分析：（1）由，求得 
計算知函數是奇函數.
另證：對任意0，
（2）利用“定義”“設、算、證、結”。
（3）根據且在的值域是，
得到a的方程解得（舍去）
得到，。
解：（1）令，解得, 
對任意
所以函數是奇函數.
另證：對任意，
所以函數是奇函數.
（2）設，
                                                              
∴
∴
∴   ∵  ∴
∴，∴
所以函數在上是增函數.
（3）由（2）知，函數在上是增函數，
又因為時，的值域是，
所以且在的值域是，
故且（結合圖像易得）
解得（舍去）
所以，
點評：中檔題，本題主要考查對數函數的性質，利用函數的奇偶性、單調性定義，判斷函數的奇偶性，證明函數的單調性，屬于基礎題目。